Nota previa: A veces he descubierto por privado que hay personas que creen que este es un blog de matemáticas, cuando no es el caso. Hace muchísimo que no toco más que las matemáticas más básicas y, en principio, no tengo en mente cambiar eso, aunque tampoco es una idea a la que le tenga aversión. El blog se llama Resolviendo la incógnita porque el primer nick que usé en internet, y el único que usaba entonces, era Tipo de incógnito (TDI). Dado que ya compartí una entrada de matemáticas a principios de año, no os aburro más y aquí tenéis otra.

Un triángulo está formado por tres líneas rectas que, cruzadas entre sí, forman un área cerrada con tres ángulos. Si dos de esas líneas continúan más allá de un mismo vértice, una cuarta línea podría formar otro triángulo no contíguo con ellas, como un reloj de arena. Si seguimos añadiendo y extendiendo líneas de la misma forma, se formarán más triángulos. La cuestión es, ¿cuántos triángulos no superpuestos se pueden colocar como máximo en un plano usando un número n de líneas rectas? 

Solución óptima para 17 líneas y 85 triángulos

Este es el problema de los triángulos de Kobon, propuesto por el experto japonés en rompecabezas Kobon Fujimura en su libro The Tokyo Puzzles (1978). Aunque empieza sencillamente, se vuelve progresivamente más complejo. Mientras con 3, 4, 5, 6 y 7 líneas se forman como máximo 1, 2, 5, 7 y 11 triángulos no superpuestos, respectivamente, a partir de ahí la cosa se complica.

Saburo Tamura probó que el límite superior de líneas es menor o igual a n(n−2)/3. Esto implica que sabemos el número máximo de triángulos no superpuestos posibles para un número n de líneas, pero cuando vamos a representarlos, no siempre sabemos cual es la mejor disposición de líneas para formar ese número máximo de triángulos. Gilles Clément y Johannes Bader demostraron que el límite ofrecido por la fórmula de Tamura no podía alcanzarse cuando el número de líneas fuera divisible por 6 y el resto de la división fuera 0 o 2. Esto implicaba que los límites para 8, 12, 18 y 20 líneas eran 15, 39, 95 y 119 triángulos, respectivamente, reduciéndose en un triángulo respecto a los límites de Tamura. 

A pesar de esto, el número máximo de configuraciones óptimas para 12, 14, 16, 18, 19, 20 y 21 líneas, son 38, 53, 72, 93, 104, 115 y 130 triángulos, respectivamente, próximas pero aún por debajo de los límites establecidos, incluso con las correcciones de Clément y Bader. Por ello este sigue siendo un problema sin solución. Dado que puedes intentarlo con papel, regla y un lápiz, ¿te atreves a superar esas marcas?

Fuentes

• Clément, G., & Bader, J. Tighter Upper Bound for the Number of Kobon Triangles.
• Pegg Jr., E. (2006, February 8). Kobon Triangles - Math Games. Retrieved November 21, 2020, from http://www.mathpuzzle.com/MAA/45-Kobon/mathgames_02_08_06.html
• Weisstein, Eric W. "Kobon Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. https://mathworld.wolfram.com/KobonTriangle.html