Las matemáticas para cubrir agujeros

Imagínate que tienes un pantalón lleno de agujeros de formas diversas, pero ninguno mayor a 1 centímetro de diámetro. Podrías pensar que unos remiendos redondos podrían cubrir todos los agujeros perfectamente sin malgastar tela, pero entonces te das cuenta que, a la hora de la verdad, estás en un problema más complicado de lo que parece.

Al encontrarte con un agujero con forma de triángulo equilátero, te percatas que un remiendo cuyo diámetro sea igual a la longitud de los lados del triángulo que alcance dos de sus vértices siempre dejará al descubierto un tercero. Lo mismo ocurriría si el agujero fuera circular y el parche fuera un triángulo equilátero de las mismas características.

Obviamente, la opción razonable sería usar más tela y dejarse de problemas, pero en las matemáticas, donde la gente se las arregla para llevar decenas de piezas de fruta directamente en sus manos, esa lógica no se estila. Es necesario obtener cuál es el resultado óptimo que permitiría desperdiciar la menor cantidad posible de tela. Tal es la dedicación al problema que los matemáticos han investigado su solución durante más de un siglo, desde que Henri Lebesque se lo presentara en una carta a Gyula Pál en 1914. Su trabajo buscó el parche universal óptimo, es decir, el parche de menor área que pudiera cubrir todo tipo de formas convexas, entendiendo por convexas a aquellas que no tienen hendiduras (p.ej. una forma de estrella no sería convexa).

Pál publicó el problema en 1920, revelando que una cobertura para todas las curvas de diámetro constante 1 también lo sería para todos los conjuntos de diámetro 1 y que esa cubierta podría crearse con un hexágono regular con un círculo inscrito de diámetro 1 y eliminando dos esquinas del hexágono para cubrir un área de 2-2/√3≈0,84529946.

Desarrollo

El razonamiento es el siguiente. Tenemos un área con un diámetro de 1. Para ser algo más que una línea, necesita al menos un tercer punto.¿Dónde situarlo? La distancia a los dos puntos anteriores no puede ser mayor al diámetro formado entre ellos, ya que acordamos que esta era la mayor distancia. Con la imagen superior sería muy sencillo de realizar usando un compás, trazando un círculo solapado colocando la aguja en el punto P y la mina de grafito en el punto O. El tercer punto se hallaría entre la convergencia de las circunferencias. Esta forma ya cubriría toda área con diámetro 1, pero no sería la solución óptima.
Si en su interior situásemos un triángulo equilátero con un lado igual al diámetro. La distancia entre el tercer vértice y el diámetro se calcularía a través del teorema de Pitágoras, teniendo en cuenta que la línea que los une perpendicularmente forma un triángulo rectángulo. El resultado es √3/2. Dado que, por lo que se estableció al principio, esta distancia no puede ser mayor al radio de 1/2. De esta manera, como en la imagen superior, reducimos el área a tener en cuenta dibujando dos líneas paralelas entre sí y al diámetro, y equidistantes a este. Como cualquier forma para la que utilicemos esta cubierta tendrá un diámetro máximo de 1 y la perpendicular a las paralelas mide lo mismo, ninguna forma podrá sobrepasar simultáneamente las dos zonas más allá de las paralelas. Es decir, para nuestro parche ideal, podríamos prescindir de una de estas áreas externas a las paralelas.

La intersección original entre las circunferencias tenía un área de 2π/3-√3/2≈1,228, mientras que nuestra nueva cubierta tendría un área de π/2-1/2≈1,071. Pál usó las propiedades de las curvas de diámetro constante para mostrar que incluso cuando un cnjunto de diámetro 1 puede sobresalir en un círculo de diámetro 1, siempre puede girarse para encajar dentro de un hexágono que circunscriba ese círculo. Este hexágono tendría un área de √3/2≈0,866. Pál descubrió que no era necesario el hexágono completo. Si se le superponía otro hexágono idéntico y se rotaba 30º, en su interior se formará un dodecágono y en el exterior sobresaldrán 6 triángulos del segundo hexágono. Como en el caso anterior con el área más allá de las paralelas, no se necesitarán ambos triángulos en extremos opuestos. Sin embargo, ¿qué triángulos opuestos elegimos? ¿3 triángulos consecutivos de un lado o alternantes? En este caso, podría haber figuras que ocuparan 3 triángulos consecutivos o alternantes, por lo que ninguna opción es válida. Lo que, según Pál, sí soluciona ambas situaciones es eliminar 2 triángulos que no sean opuestos ni consecutivos o adyacentes. De esta manera llegó a la solución propuesta con un área de 0,84529946.

Y el trabajo continúa

Este sigue siguiendo un problema sin resolver, puesto que los recortes continuaron. En 1936, Roland Sprague le quitó una esquina y redujo el área a 0,844137708436. H. C. Hansen logró eliminar 0,00000000004 de área en 1992. En el 2015, el matemático aficionado Philip Gibbs, inspirado por una entrada del blog de John Baez, trabajó con él y otro colaborador para generalizar aún más las técnicas de Sprague y Hansen, logrando el menor tamaño hasta el momento. El propio Gibbs seguiría superando su récord, pero por muy poco. Al fin y al cabo, redujeron en 0,00002 el área respecto a Hansen, algo bastante respetable teniendo en cuenta que fue una mayor reducción que la ofrecida por este último. Por otra parte, Peter Brass y Mehrbod Sharifi demostraron en el 2005 que este área no podía reducirse por debajo de 0,832.

Fuentes

• Pál, J. (1920). Uber ein elementares Variationsproblem, Danske Vid. Selsk. Math. Fys. Medd, 3. Sprague, R. (1936). Über ein elementares Variationsproblem. Matematisk tidsskrift. B, 96-99. Hansen, H. C. (1992). Small universal covers for sets of unit diameter. Geometriae Dedicata, 42(2), 205-213.
• Baez, J. C., Bagdasaryan, K., & Gibbs, P. (2015). The Lebesgue universal covering problem. arXiv preprint arXiv:1502.01251.
• Brass, P., & Sharifi, M. (2005). A lower bound for Lebesgue's universal cover problem. International Journal of Computational Geometry & Applications, 15(05), 537-544.
• Honner, P. (8 de enero de 2020). How simple math can cover even the most complex holes. Quanta magazine. https://www.quantamagazine.org/how-simple-math-can-cover-even-the-most-complex-holes-20200108/