Ir al contenido principal

No caigas en el bombo trigonométrico babilónico

Hace al menos una semana se habló en diversos medios sobre una revolucionaria tablilla babilónica que revelaba aspectos nunca vistos de la trigonometría. De hecho, ha sido un hallazgo tan revolucionario como innovador, lo que no quiere decir que sea una cosa ni la otra.

Todo empieza con Plimpton 322, una pequeña tablilla babilónica del 1800 a.C., probablemente de la antigua ciudad de Larsa (actual Irak) y encontrada posiblemente a principios de los años 20 del pasado siglo. George Plimpton la compró en 1922 y la legó a la Universidad de Columbia, que la posee desde 1936, siendo estudiada por muchos académicos desde entonces.

Desde la década de 1940, se sabe que la tablilla contiene números que implican triples pitagóricos, es decir, soluciones enteras a la ecuación a2+b2=c2. Por ejemplo, 3-4-5 es un triple pitagórico porque 32+42=9+16=25=52. El 15 de agosto de este año se celebró el "día del triple pitagórico", siendo las cifras del día, mes y del año uno de ellos.

La columna más a la derecha es una enumeración del 1 al 15. Las dos columnas centrales contienen un lado y la hipotenusa de un triángulo pitagórico, es decir, a (o b, ya que son intercambiables) y c en la ecuación antes mencionada. En la primera línea están 119 y 169. En la columna de la izquierda del tood, se encuentra una proporción de cuadrados de los lados de los triángulos. El lado exacto depende de lo contenido en el fragmento izquierdo perdido de la tablilla, aunque tampoco hay una gran diferencia. Es o el cuadrado de la hipotenusa dividido por el cuadrado del lado restante o el cuadrado de un lado dividido por el cuadrado del otro lado. Es decir, lo que hoy se conoce como el cuadrado de la tangente o la secante de un ángulo en un triángulo.

Una de las columnas se puede interpretar como funciones trigonométricas, pero el misterio realmente reside en su uso en su época. En un artículo de 1980 de R. Creighton Buck titulado "Sherlock Holmes in Babylon", se implicaba a través de las matemáticas y la astuta observación, que podía averiguar el significado de la tablilla, ofreciendo una explicación que creía que encajaba con los datos. No obstante, Eleanor Robson, en "Neither Sherlock Holmes nor Babylon", responde: "Los textos y artefactos matemáticos antiguos, si queremos comprenderlos completamente, deben ser vistos a través del contexto matemático-histórico, y no tratado como unas creaciones artificiales independientes al estilo de las historias de detectives". Lo que viene a decir es que ver los artefactos antiguos a través del punto de vista de la comprensión moderna de las matemáticas, además de arrogante, llevará a conclusiones incorrectas.

¿Qué hacía?

Antes de Mansfield y Wildberger, quienes se atribuyen el reciente descubrimiento, ya había quienes pensaban que se trataba de un tipo de tablilla de trigonometría. Por otra parte, algunos creen que conecta con el teorema de Pitágoras, conocido por los antiguos mesopotámicos y muchas otras culturas mucho antes que el matemático griego, con el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones de segundo grado, un problema común en textos matemáticos de esa época y lugar. Algunos creen que los triples se generaban distintos números no incluidos en la tablilla de una manera como la teoría de números. Algunos creen que los números vienen de los llamados pares recíprocos que se usaban para la multiplicación. Algunos creen que se usaba más como una investigación matemática original. Estas interpretaciones pueden verse en Buck in 1980, Robson en 2001 y 2002, y John P. Britton, Christine Proust, y Steve Shnider from 2011.

Pero, si es una tabla trigonométrica, ¿es mejor que las tablas trigonométricas actuales?

La contribución de Mansfield y Wildberger parece ser la especulación de que el artefacto podía usarse para hacer trigonometría de una manera más exacta que la actual. En un vídeo publicitario de UNSW que ha acompañado los comunicados de prensa, Mansfield afirma que esta tablilla es "superior en algunas maneras a la trigonometría moderna" y la "única tabla trigonométrica completamente precisa", a pesar de que la tablilla contiene seis errores conocidos. A pesar de esto, incluso la versión corregida seguiría sin ser un reemplazo revolucionario a las tablas actuales.
Tabla trigonométrica de un libro de 1619
Las tablas trigonométricas se usaban cuando no había calculadoras que ofrecieran el mismo resultado en una fracción minúscula de tiempo. Las tablas trigonométricas incluían generalmente columnas para el seno, coseno y tangente, así como alguna otra función trigonométrica de los ángulos. Estos habían sido calculados previamente a mano, uno por uno. Actualmente, los ordenadores hacen estas mismas operaciones sin necesidad de almacenar tantos datos.

Si recordais las funciones trigonométricas, son razones de las longitudes de los lados de los triángulos. El seno de un ángulo es el lado opuesto dividido entre la hipoteusa, el coseno es el adyacente dividido entre la hipotenusa y la tangente es el lado opuesto dividido entre el adyacente. La mayoría de los valores no son números racionales, es decir, no se pueden expresar como fracciones, por lo que en las tablas se mostrará un número limitado de decimales. Mansfield y Wildberger sostienen en su observación que cuando laslongitudes de los lados de un triángulos rectángulo son números enteros, estas razones son todas racionales. Plimpton 322 es una tabla trigonométrica "exacta" porque solo tiene funciones trigonométricas basadas en longitudes de lados enteros. De hecho, su creador lo dispuso para que todas las fracciones sean sencillas de representar en base 50.

Las tablas trigonométricas modernas están basadas en ángulos que aumentan de manera constante (1º,2º,3º,...; 0,1º, 0,2º, 0,3º...; y así sucesivamente). Como los babilonios, como otros antiguos mesopotámicos, pensaban en los triángulos en base a la longitud de los lados en vez de sus ángulos, estos últimos no aumentan sostenidamente. Esa es la diferencia entre esta tabla y las modernas. Ningún método es superior. Es perfectamente posible realizar tablas trigonométricas modernas con ángulos que tuvieran solo funciones trigonométricas racionales, pero no mejorarían la precisión de computación de manera muy dramática.

Además, resulta que Wildberger es seguidor de la llamada "trigonometría racional". No parece creer en las cosas que implican infinidad, incluyendo los números irracionales, que tienen décimales infinitos cuyo orden no se repite. Este método parece ser una solución a un problema que no existe. El hecho de que la mayoría ángulos no tengan senos, cosenos y tangentes racionales no parece molestar ni a matemáticos, ni físicos, ingenieros ni a otros que usan la trigonometría. Es difícil ignorar que su trabajo en Plimpton 322 se motiva por un deseo de legitimizar un abordaje que apenas tiene tirón en la comunidad matemática.

¿Es la base 60 mejor que la base 10?


Quizás la utilidad de los distintos tipos de tablas trigonométricas sea subjetiva, pero el vídeo de UNSW tiene algunas mentiras claras sobre la precisión de la base 60 frente al sistema de base 10 1ue usamos en la actualidad. En torno al 1:10, Mansfield dice "Contamos en base 10, que solo tiene dos fracciones exactas: 1/2, que es 0,5, y 1/5". Sin embargo, cualquier fracción es exacta. 1/3 vale exactamente 1/3, ni más ni menos. Mansfield aclara que se refiere a que tiene decimales infinitos, en vez de tener un número limitado de cifras. A pesar de todo, no considera a otras fracciones como 1/4 (0,25), que tiene decimales finitos, como fracciones exactas. Tampoco 1/10 (0,1) o 2/5 (0,4).

Cuando habla de las bondades de la base 60, no aplica el mismo criterio. 1/8 se escribiría 7/60+30/3600, que es lo mismo que escribir 0,25, o 2/10+5/100 para 1/4 en base 10. ¿Por qué 1/8 es exacto en base 60 pero 1/4 no lo es en base 10? Cuesta creer que se trate de un error involuntario de un matemático, haciendo sospechar que esté motivado por algún interés oculto.

Fuente: Scientific American

Comentarios

Lo más popular de la semana

¿Pueden los ojos cambiar de color?

Es ampliamente conocido que los bebés suelen nacer rubios y con los ojos azules debido a que aún no poseen el pigmento que les da el color. Cuando producen melanina los ojos y el pelo se oscurecen. Esto cambio suele producirse en niños blancos que no sean rubios ni tengas ojos azules. Lo que no es tan conocido es que el color de los ojos no es fijo.

Puede ser que conozcas algún caso. Puede que, al haber pasado en un lapso de tiempo tan largo, ni te fijaras o pensaras que es una percepción tuya, pero es real. Las causas pueden ser el envejecimiento normal, una enfermedad o un medicamento, como el latanoprost. La enfermedad puede ser una  ciclitis heterocrómica de Fuchs (CHF), el síndrome de Claude-Bernard-Horner o un glaucoma pigmentario, entre otros.

¿Por qué inflamable significa flamable?

En el episodio 18 de la temporada 12 de Los Simpsons, Trilogía del error, estrenado el 19 de abril de 2001, el Dr. Nick se sorprende cuando, tras explotar una bombona de éter, descubre que inflamable significa flamable. La gracia reside en que "in-" es un prefijo negativo que otorga el significado opuesto a la palabra que acompaña. Antes de "l" y "r", el prefijo pierde la "n", mientras que antes de "p" y "b", se convierte en una "m". Con esto en mente, ¿no sería lógico que lo inflamable fuera incapaz de arder en llamas?

¿De dónde vienen los nombres de los elementos?

Tabla en espiral diseñada por el profesor Theodor Benfey
Ni se le hubiera pasado por la cabeza a Mendeliev pensar que la tabla periódica que él diseñó llegaría a albergar 118 elementos. Cuando miramos la tabla, nos encontramos con nombres conocidos como el oxígeno, el hierro y el oro, y otros que no tanto, como el molibdeno, hafnio y el itrio. Estos nombres no han sido elegidos al azar, ni en un concurso de nombres raros (aunque lo parece), cada uno de ellos tiene un origen y un significado. Por eso, para culturizarnos un poco conoceremos el origen del nombre de algunos elementos.
Hidrógeno (H): que mejor manera de empezar que con el primero de la lista. El nombre proviene del griego Hydro y genos, "formador de agua". Este nombre fue propuesto por el químico francés Antoine Lavoisier.Litio (Li): su nombre proviene de Lithos, piedra (para que calentarse más la cabeza al ponerle un nombre).Rubidio (Rb): descubierto por Bunsen (Derecha) y Kirchhoff por espectroscopia. Su nombr…

101 curiosidades sobre las cucarachas

1. Una estirpe de rancio abolengo. Los fósiles más antiguos de cucarachas datan del Carbonífero inferior (hace 360-310 millones de años). Eran tan abundantes en este período que a menudo se le conoce como la Edad de las cucarachas.

2. La diversidad de las cucarachas. Se conocen unas 3.500 especies de cucarachas (aunque hay otras fuentes que hablan de 3.700 o incluso 5.000 especies), agrupadas en 6 familias (blátidos, blatélidos, blabéridos, polifágidos, criptocércidos y nocticólidos). Sólo 40 habitan en las casas.
3. El increíble grupo cambiante. Antiguamente, las cucarachas (blatoideos o blatarios) estuvieron incluidas en el orden de los ortópteros, junto con los grillos y los saltamontes, aunque ahora pertenecen a un orden diferente, dictiópteros, que comparten —como suborden— con las mantis religiosas y, según algunas clasificaciones, las termitas. Otras clasificaciones consideran a los dictiópteros como un superorden y a los blatoideos como un orden. A pesar de ello, en la RAE no…

Los 16 placeres: la primera obra sexual censurada por el Vaticano

En 1524, Marcantonio Raimondi publicó I Modi (Las maneras), también conocido como Los dieciséis placeresDe omnibus Veneris Schematibus, donde mostraba 16 grabados de posturas eróticas basadas en las pinturas de encargadas a Giulio Romano por Federico II Gonzaga para el nuevo Palacio del Té en Mantua. Sin embargo, el Vaticano no vio con buenos ojos su publicación, por lo que el papa Clemente VII ordenó encarcelar a Marcantonio y destruir todas las copias de su obra.

El hombre con la sangre "dorada"

Sus médicos lo llevaron a la frontera. Así era más rápido: si donaba en Suiza, el proceso se enlentecería rellenando papeles y autorizaciones. La enfermera en Annemasse, Francia, podía ver por la bolsa de sangre destinada a París que esta era bastante inusual. Pero cuando leyó los detalles, se le abrieron los ojos. No había duda que era imposible para este hombre estar sentado a su lado, no solo vivo, sino también sano. Thomas sonrió. Muy pocas personas en el mundo sabían que su grupo sanguíneo podía existir. E incluso menos la compartieron. En 50 años, los investigadores solo han encontrado a unas 40 personas en el planeta con el mismo tipo de valiosa sangre en sus venas.

¿Por qué los gatos tienen 7 o 9 vidas?

A veces los gatos son un misterio. Se dice que los gatos tienen siete vidas, pero en otros países tienen nueve. En principio parece seguir la típica tendencia por la que todo es mejor en otros países y hasta los gatos duran más. Es normal que nos liemos, si nos angustiamos buscándole tres patas. Pero, ¿de dónde viene sus múltiples vidas?