No caigas en el bombo trigonométrico babilónico
Todo empieza con Plimpton 322, una pequeña tablilla babilónica del 1800 a.C., probablemente de la antigua ciudad de Larsa (actual Irak) y encontrada posiblemente a principios de los años 20 del pasado siglo. George Plimpton la compró en 1922 y la legó a la Universidad de Columbia, que la posee desde 1936, siendo estudiada por muchos académicos desde entonces.
Desde la década de 1940, se sabe que la tablilla contiene números que implican triples pitagóricos, es decir, soluciones enteras a la ecuación a2+b2=c2. Por ejemplo, 3-4-5 es un triple pitagórico porque 32+42=9+16=25=52. El 15 de agosto de este año se celebró el "día del triple pitagórico", siendo las cifras del día, mes y del año uno de ellos.
La columna más a la derecha es una enumeración del 1 al 15. Las dos columnas centrales contienen un lado y la hipotenusa de un triángulo pitagórico, es decir, a (o b, ya que son intercambiables) y c en la ecuación antes mencionada. En la primera línea están 119 y 169. En la columna de la izquierda del tood, se encuentra una proporción de cuadrados de los lados de los triángulos. El lado exacto depende de lo contenido en el fragmento izquierdo perdido de la tablilla, aunque tampoco hay una gran diferencia. Es o el cuadrado de la hipotenusa dividido por el cuadrado del lado restante o el cuadrado de un lado dividido por el cuadrado del otro lado. Es decir, lo que hoy se conoce como el cuadrado de la tangente o la secante de un ángulo en un triángulo.
Una de las columnas se puede interpretar como funciones trigonométricas, pero el misterio realmente reside en su uso en su época. En un artículo de 1980 de R. Creighton Buck titulado "Sherlock Holmes in Babylon", se implicaba a través de las matemáticas y la astuta observación, que podía averiguar el significado de la tablilla, ofreciendo una explicación que creía que encajaba con los datos. No obstante, Eleanor Robson, en "Neither Sherlock Holmes nor Babylon", responde: "Los textos y artefactos matemáticos antiguos, si queremos comprenderlos completamente, deben ser vistos a través del contexto matemático-histórico, y no tratado como unas creaciones artificiales independientes al estilo de las historias de detectives". Lo que viene a decir es que ver los artefactos antiguos a través del punto de vista de la comprensión moderna de las matemáticas, además de arrogante, llevará a conclusiones incorrectas.
Las tablas trigonométricas se usaban cuando no había calculadoras que ofrecieran el mismo resultado en una fracción minúscula de tiempo. Las tablas trigonométricas incluían generalmente columnas para el seno, coseno y tangente, así como alguna otra función trigonométrica de los ángulos. Estos habían sido calculados previamente a mano, uno por uno. Actualmente, los ordenadores hacen estas mismas operaciones sin necesidad de almacenar tantos datos.
Si recordais las funciones trigonométricas, son razones de las longitudes de los lados de los triángulos. El seno de un ángulo es el lado opuesto dividido entre la hipoteusa, el coseno es el adyacente dividido entre la hipotenusa y la tangente es el lado opuesto dividido entre el adyacente. La mayoría de los valores no son números racionales, es decir, no se pueden expresar como fracciones, por lo que en las tablas se mostrará un número limitado de decimales. Mansfield y Wildberger sostienen en su observación que cuando laslongitudes de los lados de un triángulos rectángulo son números enteros, estas razones son todas racionales. Plimpton 322 es una tabla trigonométrica "exacta" porque solo tiene funciones trigonométricas basadas en longitudes de lados enteros. De hecho, su creador lo dispuso para que todas las fracciones sean sencillas de representar en base 50.
Las tablas trigonométricas modernas están basadas en ángulos que aumentan de manera constante (1º,2º,3º,...; 0,1º, 0,2º, 0,3º...; y así sucesivamente). Como los babilonios, como otros antiguos mesopotámicos, pensaban en los triángulos en base a la longitud de los lados en vez de sus ángulos, estos últimos no aumentan sostenidamente. Esa es la diferencia entre esta tabla y las modernas. Ningún método es superior. Es perfectamente posible realizar tablas trigonométricas modernas con ángulos que tuvieran solo funciones trigonométricas racionales, pero no mejorarían la precisión de computación de manera muy dramática.
Además, resulta que Wildberger es seguidor de la llamada "trigonometría racional". No parece creer en las cosas que implican infinidad, incluyendo los números irracionales, que tienen décimales infinitos cuyo orden no se repite. Este método parece ser una solución a un problema que no existe. El hecho de que la mayoría ángulos no tengan senos, cosenos y tangentes racionales no parece molestar ni a matemáticos, ni físicos, ingenieros ni a otros que usan la trigonometría. Es difícil ignorar que su trabajo en Plimpton 322 se motiva por un deseo de legitimizar un abordaje que apenas tiene tirón en la comunidad matemática.
Quizás la utilidad de los distintos tipos de tablas trigonométricas sea subjetiva, pero el vídeo de UNSW tiene algunas mentiras claras sobre la precisión de la base 60 frente al sistema de base 10 1ue usamos en la actualidad. En torno al 1:10, Mansfield dice "Contamos en base 10, que solo tiene dos fracciones exactas: 1/2, que es 0,5, y 1/5". Sin embargo, cualquier fracción es exacta. 1/3 vale exactamente 1/3, ni más ni menos. Mansfield aclara que se refiere a que tiene decimales infinitos, en vez de tener un número limitado de cifras. A pesar de todo, no considera a otras fracciones como 1/4 (0,25), que tiene decimales finitos, como fracciones exactas. Tampoco 1/10 (0,1) o 2/5 (0,4).
Cuando habla de las bondades de la base 60, no aplica el mismo criterio. 1/8 se escribiría 7/60+30/3600, que es lo mismo que escribir 0,25, o 2/10+5/100 para 1/4 en base 10. ¿Por qué 1/8 es exacto en base 60 pero 1/4 no lo es en base 10? Cuesta creer que se trate de un error involuntario de un matemático, haciendo sospechar que esté motivado por algún interés oculto.
Fuente: Scientific American
¿Qué hacía?
Antes de Mansfield y Wildberger, quienes se atribuyen el reciente descubrimiento, ya había quienes pensaban que se trataba de un tipo de tablilla de trigonometría. Por otra parte, algunos creen que conecta con el teorema de Pitágoras, conocido por los antiguos mesopotámicos y muchas otras culturas mucho antes que el matemático griego, con el método de completar el cuadrado para resolver ecuaciones de segundo grado, un problema común en textos matemáticos de esa época y lugar. Algunos creen que los triples se generaban distintos números no incluidos en la tablilla de una manera como la teoría de números. Algunos creen que los números vienen de los llamados pares recíprocos que se usaban para la multiplicación. Algunos creen que se usaba más como una investigación matemática original. Estas interpretaciones pueden verse en Buck in 1980, Robson en 2001 y 2002, y John P. Britton, Christine Proust, y Steve Shnider from 2011.Pero, si es una tabla trigonométrica, ¿es mejor que las tablas trigonométricas actuales?
La contribución de Mansfield y Wildberger parece ser la especulación de que el artefacto podía usarse para hacer trigonometría de una manera más exacta que la actual. En un vídeo publicitario de UNSW que ha acompañado los comunicados de prensa, Mansfield afirma que esta tablilla es "superior en algunas maneras a la trigonometría moderna" y la "única tabla trigonométrica completamente precisa", a pesar de que la tablilla contiene seis errores conocidos. A pesar de esto, incluso la versión corregida seguiría sin ser un reemplazo revolucionario a las tablas actuales. |
| Tabla trigonométrica de un libro de 1619 |
Si recordais las funciones trigonométricas, son razones de las longitudes de los lados de los triángulos. El seno de un ángulo es el lado opuesto dividido entre la hipoteusa, el coseno es el adyacente dividido entre la hipotenusa y la tangente es el lado opuesto dividido entre el adyacente. La mayoría de los valores no son números racionales, es decir, no se pueden expresar como fracciones, por lo que en las tablas se mostrará un número limitado de decimales. Mansfield y Wildberger sostienen en su observación que cuando laslongitudes de los lados de un triángulos rectángulo son números enteros, estas razones son todas racionales. Plimpton 322 es una tabla trigonométrica "exacta" porque solo tiene funciones trigonométricas basadas en longitudes de lados enteros. De hecho, su creador lo dispuso para que todas las fracciones sean sencillas de representar en base 50.
Las tablas trigonométricas modernas están basadas en ángulos que aumentan de manera constante (1º,2º,3º,...; 0,1º, 0,2º, 0,3º...; y así sucesivamente). Como los babilonios, como otros antiguos mesopotámicos, pensaban en los triángulos en base a la longitud de los lados en vez de sus ángulos, estos últimos no aumentan sostenidamente. Esa es la diferencia entre esta tabla y las modernas. Ningún método es superior. Es perfectamente posible realizar tablas trigonométricas modernas con ángulos que tuvieran solo funciones trigonométricas racionales, pero no mejorarían la precisión de computación de manera muy dramática.
Además, resulta que Wildberger es seguidor de la llamada "trigonometría racional". No parece creer en las cosas que implican infinidad, incluyendo los números irracionales, que tienen décimales infinitos cuyo orden no se repite. Este método parece ser una solución a un problema que no existe. El hecho de que la mayoría ángulos no tengan senos, cosenos y tangentes racionales no parece molestar ni a matemáticos, ni físicos, ingenieros ni a otros que usan la trigonometría. Es difícil ignorar que su trabajo en Plimpton 322 se motiva por un deseo de legitimizar un abordaje que apenas tiene tirón en la comunidad matemática.
¿Es la base 60 mejor que la base 10?
Quizás la utilidad de los distintos tipos de tablas trigonométricas sea subjetiva, pero el vídeo de UNSW tiene algunas mentiras claras sobre la precisión de la base 60 frente al sistema de base 10 1ue usamos en la actualidad. En torno al 1:10, Mansfield dice "Contamos en base 10, que solo tiene dos fracciones exactas: 1/2, que es 0,5, y 1/5". Sin embargo, cualquier fracción es exacta. 1/3 vale exactamente 1/3, ni más ni menos. Mansfield aclara que se refiere a que tiene decimales infinitos, en vez de tener un número limitado de cifras. A pesar de todo, no considera a otras fracciones como 1/4 (0,25), que tiene decimales finitos, como fracciones exactas. Tampoco 1/10 (0,1) o 2/5 (0,4).
Cuando habla de las bondades de la base 60, no aplica el mismo criterio. 1/8 se escribiría 7/60+30/3600, que es lo mismo que escribir 0,25, o 2/10+5/100 para 1/4 en base 10. ¿Por qué 1/8 es exacto en base 60 pero 1/4 no lo es en base 10? Cuesta creer que se trate de un error involuntario de un matemático, haciendo sospechar que esté motivado por algún interés oculto.
Fuente: Scientific American
